Latihan Soal UN SMA IPA (Persamaan dan Fungsi Kuadrat)

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Misalkan a, b,c anggota himpunan bilangan real, maka bentuk umum persamaan kuadrat adalah: $ax^{2}+bx+c=0$
Dalam persamaan tersebut, a adalah koefisien dari $x^{2}$ , b adalah koefisien dari $x$ , dan c disebut konstanta. Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat. Selanjutnya, himpunan yang beanggotakan akar-akar atau penyelesaian persamaan kuadrat disebut himpunan penyelesaian persamaan kuadrat.

Cara Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

1. Pemfaktoran

2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

Langkah-langkah menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna adalah sebagai berikut:

a. Ubah koefisien $x^{2}$ menjadi 1

b. Ubah persamaan kuadrat tersebut menjadi bentuk $(x-p)^2=q$

c. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yaitu $x-p=\pm q$

Contoh soal: tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2+8x+12=0$ dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab:

Langkah 1: pastikan koefisien adalah 1. Dalam bentuk persamaan kuadrat ini, koefisien $x^2$ adalah 1.

Langkah 2:

$x^2+8x+12=0$
$x^2+8x+(\frac{1}{2}\cdot 8)^2+12=0+(\frac{1}{2}\cdot 8)^2$
$x^2+8x+4^2+12=0+16$
$(x+4)^2+12=16$
$(x+4)^2=4$
Langkah 3:

$(x+4)^2=4$
$(x+4)=\pm 2$
$x=\pm 2-4$
$x=-2\vee x=-6$

3. Rumus abc

Diketahui persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ , maka dengan menggunakan rumus abc, diperoleh: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Maksud dari penulisan $x_{1,2}$ adalah singkatan dari penulisan $x_{1}$ atau $x_{2}$ yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Bentuk $b^2-4ac$ biasa disebut sebagai diskriminan yang biasa disingkat D. Arti dari diskriminan adalah pembeda. Salah satu manfaat meninjau rumus ini adalah dapat menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat yang akan dijelaskan setelah ini.

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat ditinjau dari nilai diskriminannya adalah sebagai berikut:

Jika $D>0$ , persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real berbeda. Jika D berbentuk nilai kuadrat sempurna, misalnya $D=k^2$ , maka kedua akarnya rasional. Jika D tidak berbentuk nilai kuadrat sempurna, misalnya $D\neq k^2$ , maka kedua akarnya irasional.
Jika $D=0$ , persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar kembar.
Jika $D<0$ , maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai akar real atau akar keduanya tidak real.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Untuk persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ yang mempunyai akar-akar yaitu $x_{1}$ dan $x_{1}$ maka berlaku:

Jumlah akar: $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
Hasil kali akar: $x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat digunakan untuk membedakan ciri akar-akar sebuah persamaan kuadrat yang mempunyai dua akar real. Ciri-cirinya adalah sebagai berikut:

Jika akar persamaan kuadrat tersebut berlawanan $(x_{1}=-x_{2})$ , maka $b=0$
Jika kedua akar persamaan kuadrat tersebut berkebalikan $(x_{1}=\frac{1}{x_{2}})$ , maka $a=c$
Jika kedua akar persamaan kuadrat tersebut bertanda sama, maka $\frac{c}{a}> 0$
Jika kedua akar persamaan kuadrat tersebut berlainan tanda, maka $\frac{c}{a}<0$

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya

Menyusun persamaan kuadrat dengan perkalian faktor. Jika diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat tersebut adalah: $(x-x_{1})(x-x_{2})=0$
Menyusun persamaan kuadrat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya yaitu $x^2-(x_{1}+x_{2})x+(x_{1}\cdot x_{2})=0$

Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar Persamaan Kuadrat Lain

Fungsi Kuadrat

Jika a, b, dan c adalah bilangan real dengan $a\neq 0$ , fungsi dengan rumus $f(x)=ax^2+bx+c$ disebut sebagai fungsi kuadrat dalam peubah x. Sketsa grafik fungsi kuadrat dibagi menjadi 2 kelompok, yaitu:

Untuk $a>0$ , parabola terbuka ke atas (memiliki titik puncak minimum)

Jika $D> 0$ , parabola memotong sumbu X di dua titik berlainan
Jika $D 0$ , parabola memotong sumbu X di satu titik (menyinggung sumbu X)
Jika $D<0$ , parabola tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu X . Dalam kata lain, ketika $a>0$ dan $D< 0$ , fungsi kuadrat tersebut definit positif (nilainya selalu positif)

Untuk $a< 0$ , parabola terbuka ke bawah (memiliki titik puncak maksimum)

Jika $D> 0$ , parabola memotong sumbu X di dua titik berlainan
Jika $D=0$ , parabola memotong sumbu X di satu titik (menyinggung sumbu X)
Jika $D< 0$ , parabola tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu X. Dalam kata lain, ketika $a< 0$ dan $D< 0$ , fungsi kuadrat tersebut definit negatif (nilainya selalu negatif)

Hubungan nilai c dan titik potong terhadap sumbu Y

Jika $c> 0$ , titik potong grafik dengan sumbu Y berada di atas titik O
Jika $c=0$ , titik potong grafik dengan sumbu Y tepat di titik O
Jika $c< 0$ , titik potong grafik dengan sumbu Y berada di bawah titik O

Tentang sumbu simetri dan titik puncak

Titik puncak parabola $y=ax^2+bx+c$ adalah $(-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a})$
Persamaan sumbu simetri parabola adalah $x=-\frac{b}{2a}$

Jika $-\frac{b}{2a}> 0$ , maka grafik terletak di sebelah kanan sumbu X

Jika $-\frac{b}{2a}< 0$ , maka grafik terletak di sebelah kiri sumbu X

Latihan Soal UN SMA IPA (Bentuk Pangkat)

Kisi-kisi ujian nasional dari tahun ke tahun hampir sama. Tipe soal dari tahun ke tahun juga hampir sama. Kunci sukses untuk mendapatkan nilai ujian nasional maksimal terutama mata pelajaran matematika adalah perbanyak latihan soal. Materi pertama yang diujikan di ujian nasional adalah bentuk pangkat. Berikut ini adalah materi bentuk pangkat dan disajikan latihan soal-soal ujian nasional tentang materi tersebut. Bentuk Pangkat Bentuk pangkat atau biasa disebut eksponen adalah perkalian bilangan yang sama secara berulang. Secara umum, bentuk pangkat biasa dituliskan artinya perkalian bilangan a sebanyak n kali. Bentuk perpangkatan dengan a disebut sebagai basis dan n disebut sebagai pangkat. Sifat-sifat pangkat: Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 0, maka hasilnya adalah 1. Contoh: , . Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 1, maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Contoh: , . Jika 1 dipangkatkan dengan bilangan berapapun, hasilnya tetap 1. Contoh: , . Ji

Kumpulan Soal Matematika

Search This Blog