Latihan Soal UN SMA IPA (Matriks)

Matriks

Matriks merupakan salah satu cara untuk mempermudah penyelesaian sistem persamaan linier. Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurut baris dan kolom disertai dengan tanda kurung di sebelah kiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Masing-masing bilangan yang ada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks.
Contoh matriks: $\begin{pmatrix} 7 & 8 &9 \\ 8 & 7 &8 \\ 5 & 7 &8 \\ 7 & 9 &10 \end{pmatrix}$
Matriks di atas memiliki 12 elemen. Matriks tersebut mempunyai 4 baris dan 3 kolom.

Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf kapital, seperti A, B, C, dan lain-lain. Sedangkan untuk menyatakan elemen matriks, biasanya digunakan huruf kecil. Misalnya, $a_{ij}$ untuk menyatakan tiap elemen matriks A, i menyatakan baris ke-i dan j menyatakan kolom ke-j.

Suatu matriks A berukuran $m\times n$ adalah susunan berbentuk persegi panjang yang terdiri dari m baris dan n kolom. Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks yang menyatakan banyak baris diikuti dengan banyak kolom. Untuk matriks A dengan ukuran $m\times n$ dapat ditulis $A_{m\times n}$ .

Macam-macam matriks:
Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Misalnya: $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Misalnya: $\begin{pmatrix} 5\\ -7\\ -2\\ \end{pmatrix}$ .

Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan kolom sama. Misalnya: $\begin{pmatrix} 4 & 5 & 9\\ -2 & 6 & 11\\ 3 & 7 & 13 \end{pmatrix}$ .

Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya adalah 0, sedangkan elemen pada diagonal utamanya tidak semuanya 0. Misalnya: $\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnya semuanya 0 (nol). Misalnya: $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Matriks Nol
Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah 0 (nol). Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O. Misalnya: $O_{2\times 2}=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Transpose Suatu Matriks

Transpose dari matriks A berordo $m\times n$ adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom. Notasi transpose matriks A adalah $A^{T}$ .

Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis $A=B$ jika matriks A dan B mempunyai ordo yang sama dan semua elemen yang seletak bernilai sama.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Jika terdapat $A=\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 2 & 3\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & -2\\ 5 & 3\\ 6 & -3 \end{pmatrix}$ , maka $A+B=\begin{pmatrix} 1+2 & -2+(-2)\\ 2+5 & 3+3\\ 4+6 & -1+(-3) \end{pmatrix}$ adalah $=\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 7 & 6\\ 10 & -4 \end{pmatrix}$ .
Catatan: Syarat dua atau lebih bisa dikalikan adalah ketika ordo matriks-matriks tersebut sama.

Jika A, B, dan C matriks-matriks yang berordo sama maka pada penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat:

$A+B=B+A$ (sifat komutatif)
$(A+B)+C=A+(B+C)$ (sifat asosiatif)
Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga $A+O=O+A=A$
Invers penjumlahan A adalah $-A$ sehingga $A+(-A)=-A+A=O$

Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah skalar (bilangan real), dan A, B adalah matriks berordo $m\times n$ serta $k_{1}$ dan $k_{2}$ adalah skalar, berlaku sifat-sifat:

Perkalian Matriks dengan Matriks

Syarat dua matriks dapat dikalikan adalah jika banyak kolom matriks kiri sama dengan banyaknya baris matriks kanan. Jika A, B, dan C adalah matriks maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks: